\(\int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx\) [205]

Optimal result

Integrand size = 12, antiderivative size = 180 \[ \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx=\frac {3 x}{8}-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}+\frac {i x^4}{2}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-2 x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )+3 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )-3 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i x}\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x) \]

[Out]

3/8*x-3/2*I*x^2-3/4*x^3-3/2*I*polylog(4,exp(2*I*x))-3/2*x^2*cot(x)-1/2*x^3*cot(x)^2+3*x*ln(1-exp(2*I*x))-2*x^3
*ln(1-exp(2*I*x))+3*I*x^2*polylog(2,exp(2*I*x))-3/2*I*polylog(2,exp(2*I*x))-3*x*polylog(3,exp(2*I*x))+1/2*I*x^
4-3/8*cos(x)*sin(x)+3/4*x^2*cos(x)*sin(x)-3/4*x*sin(x)^2+1/2*x^3*sin(x)^2

Rubi [A] (verified)

Time = 0.45 (sec) , antiderivative size = 180, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 26, number of rules used = 15, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 1.250, Rules used = {4493, 3524, 3392, 30, 2715, 8, 3798, 2221, 2611, 6744, 2320, 6724, 3801, 2317, 2438} \[ \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx=3 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )-3 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i x}\right )+\frac {i x^4}{2}-\frac {3 x^3}{4}-2 x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)+\frac {3}{4} x^2 \sin (x) \cos (x)+\frac {3 x}{8}+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)-\frac {3}{8} \sin (x) \cos (x) \]

[In]

Int[x^3*Cos[x]^2*Cot[x]^3,x]

[Out]

(3*x)/8 - ((3*I)/2)*x^2 - (3*x^3)/4 + (I/2)*x^4 - (3*x^2*Cot[x])/2 - (x^3*Cot[x]^2)/2 + 3*x*Log[1 - E^((2*I)*x
)] - 2*x^3*Log[1 - E^((2*I)*x)] - ((3*I)/2)*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] + (3*I)*x^2*PolyLog[2, E^((2*I)*x)] - 3*x*
PolyLog[3, E^((2*I)*x)] - ((3*I)/2)*PolyLog[4, E^((2*I)*x)] - (3*Cos[x]*Sin[x])/8 + (3*x^2*Cos[x]*Sin[x])/4 -
(3*x*Sin[x]^2)/4 + (x^3*Sin[x]^2)/2

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rule 2221

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m/(b*f*g*n*Log[F]))*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x]
- Dist[d*(m/(b*f*g*n*Log[F])), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2317

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2438

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> Simp[-PolyLog[2, (-c)*e*x^n]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2715

Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*Cos[c + d*x]*((b*Sin[c + d*x])^(n - 1)/(d*n))
, x] + Dist[b^2*((n - 1)/n), Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Integ
erQ[2*n]

Rule 3392

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[d*m*(c + d*x)^(m - 1)*((
b*Sin[e + f*x])^n/(f^2*n^2)), x] + (Dist[b^2*((n - 1)/n), Int[(c + d*x)^m*(b*Sin[e + f*x])^(n - 2), x], x] - D
ist[d^2*m*((m - 1)/(f^2*n^2)), Int[(c + d*x)^(m - 2)*(b*Sin[e + f*x])^n, x], x] - Simp[b*(c + d*x)^m*Cos[e + f
*x]*((b*Sin[e + f*x])^(n - 1)/(f*n)), x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && GtQ[m, 1]

Rule 3524

Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]*(x_)^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)^(n_.)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m - n +
1)*(Sin[a + b*x^n]^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Dist[(m - n + 1)/(b*n*(p + 1)), Int[x^(m - n)*Sin[a + b*x^n]^
(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && LtQ[0, n, m + 1] && NeQ[p, -1]

Rule 3798

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[I*((c + d*x)^(m + 1)/(d*(
m + 1))), x] - Dist[2*I, Int[(c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*(E^(2*I*(e + f*x))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x))))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 3801

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(c + d*x)^m*((b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1)/(f*(n - 1))), x] + (-Dist[b*d*(m/(f*(n - 1))), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 4493

Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[
(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^n*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^(n - 2)*Cot[a + b*x]^p, x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6744

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[(e + f*x)^m*(PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/(b*c*p*Log[F])), x] - Dist[f*(m/(b*c*p*Log[F])), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\int x^3 \cos ^2(x) \cot (x) \, dx+\int x^3 \cot ^3(x) \, dx \\ & = -\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+\frac {3}{2} \int x^2 \cot ^2(x) \, dx-2 \int x^3 \cot (x) \, dx+\int x^3 \cos (x) \sin (x) \, dx \\ & = -\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-2 \left (-\frac {i x^4}{4}-2 i \int \frac {e^{2 i x} x^3}{1-e^{2 i x}} \, dx\right )-\frac {3 \int x^2 \, dx}{2}-\frac {3}{2} \int x^2 \sin ^2(x) \, dx+3 \int x \cot (x) \, dx \\ & = -\frac {3 i x^2}{2}-\frac {x^3}{2}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-6 i \int \frac {e^{2 i x} x}{1-e^{2 i x}} \, dx-\frac {3 \int x^2 \, dx}{4}+\frac {3}{4} \int \sin ^2(x) \, dx-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-3 \int x^2 \log \left (1-e^{2 i x}\right ) \, dx\right ) \\ & = -\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )+3 i \int x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right ) \, dx\right )+\frac {3 \int 1 \, dx}{8}-3 \int \log \left (1-e^{2 i x}\right ) \, dx \\ & = \frac {3 x}{8}-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)+\frac {3}{2} i \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 i x}\right )-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )+\frac {3}{2} x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} \int \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i x}\right ) \, dx\right ) \\ & = \frac {3 x}{8}-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x)-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )+\frac {3}{2} x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i x}\right )+\frac {3}{4} i \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(3,x)}{x} \, dx,x,e^{2 i x}\right )\right ) \\ & = \frac {3 x}{8}-\frac {3 i x^2}{2}-\frac {3 x^3}{4}-\frac {3}{2} x^2 \cot (x)-\frac {1}{2} x^3 \cot ^2(x)+3 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )-2 \left (-\frac {i x^4}{4}+x^3 \log \left (1-e^{2 i x}\right )-\frac {3}{2} i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )+\frac {3}{2} x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i x}\right )+\frac {3}{4} i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i x}\right )\right )-\frac {3}{8} \cos (x) \sin (x)+\frac {3}{4} x^2 \cos (x) \sin (x)-\frac {3}{4} x \sin ^2(x)+\frac {1}{2} x^3 \sin ^2(x) \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.47 (sec) , antiderivative size = 159, normalized size of antiderivative = 0.88 \[ \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx=\frac {1}{32} \left (i \pi ^4-48 i x^2-16 i x^4+12 x \cos (2 x)-8 x^3 \cos (2 x)-48 x^2 \cot (x)-16 x^3 \csc ^2(x)-64 x^3 \log \left (1-e^{-2 i x}\right )+96 x \log \left (1-e^{2 i x}\right )-96 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{-2 i x}\right )-48 i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i x}\right )-96 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{-2 i x}\right )+48 i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{-2 i x}\right )-6 \sin (2 x)+12 x^2 \sin (2 x)\right ) \]

[In]

Integrate[x^3*Cos[x]^2*Cot[x]^3,x]

[Out]

(I*Pi^4 - (48*I)*x^2 - (16*I)*x^4 + 12*x*Cos[2*x] - 8*x^3*Cos[2*x] - 48*x^2*Cot[x] - 16*x^3*Csc[x]^2 - 64*x^3*
Log[1 - E^((-2*I)*x)] + 96*x*Log[1 - E^((2*I)*x)] - (96*I)*x^2*PolyLog[2, E^((-2*I)*x)] - (48*I)*PolyLog[2, E^
((2*I)*x)] - 96*x*PolyLog[3, E^((-2*I)*x)] + (48*I)*PolyLog[4, E^((-2*I)*x)] - 6*Sin[2*x] + 12*x^2*Sin[2*x])/3
2

Maple [A] (verified)

Time = 4.58 (sec) , antiderivative size = 240, normalized size of antiderivative = 1.33

method	result	size
risch	\(-3 i \operatorname {polylog}\left (2, -{\mathrm e}^{i x}\right )-\frac {\left (4 x^{3}+6 i x^{2}-6 x -3 i\right ) {\mathrm e}^{2 i x}}{32}-\frac {\left (4 x^{3}-6 i x^{2}-6 x +3 i\right ) {\mathrm e}^{-2 i x}}{32}+\frac {x^{2} \left (2 \,{\mathrm e}^{2 i x} x -3 i {\mathrm e}^{2 i x}+3 i\right )}{\left ({\mathrm e}^{2 i x}-1\right )^{2}}-2 x^{3} \ln \left ({\mathrm e}^{i x}+1\right )-2 x^{3} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i x}\right )-12 i \operatorname {polylog}\left (4, -{\mathrm e}^{i x}\right )+3 x \ln \left ({\mathrm e}^{i x}+1\right )+3 x \ln \left (1-{\mathrm e}^{i x}\right )-12 x \operatorname {polylog}\left (3, -{\mathrm e}^{i x}\right )-12 x \operatorname {polylog}\left (3, {\mathrm e}^{i x}\right )+6 i \operatorname {polylog}\left (2, -{\mathrm e}^{i x}\right ) x^{2}-3 i x^{2}+\frac {i x^{4}}{2}+6 i \operatorname {polylog}\left (2, {\mathrm e}^{i x}\right ) x^{2}-12 i \operatorname {polylog}\left (4, {\mathrm e}^{i x}\right )-3 i \operatorname {polylog}\left (2, {\mathrm e}^{i x}\right )\)	\(240\)

[In]

int(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-3*I*polylog(2,-exp(I*x))-1/32*(6*I*x^2+4*x^3-3*I-6*x)*exp(2*I*x)-1/32*(-6*I*x^2+4*x^3+3*I-6*x)*exp(-2*I*x)+x^
2*(2*exp(2*I*x)*x-3*I*exp(2*I*x)+3*I)/(exp(2*I*x)-1)^2-2*x^3*ln(exp(I*x)+1)-2*x^3*ln(1-exp(I*x))-12*I*polylog(
4,-exp(I*x))+3*x*ln(exp(I*x)+1)+3*x*ln(1-exp(I*x))-12*x*polylog(3,-exp(I*x))-12*x*polylog(3,exp(I*x))+6*I*poly
log(2,-exp(I*x))*x^2-3*I*x^2+1/2*I*x^4+6*I*polylog(2,exp(I*x))*x^2-12*I*polylog(4,exp(I*x))-3*I*polylog(2,exp(
I*x))

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 508 vs. \(2 (126) = 252\).

Time = 0.28 (sec) , antiderivative size = 508, normalized size of antiderivative = 2.82 \[ \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx=-\frac {2 \, {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \left (x\right )^{4} - 2 \, x^{3} - 3 \, {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \left (x\right )^{2} + 12 \, {\left ({\left (-2 i \, x^{2} + i\right )} \cos \left (x\right )^{2} + 2 i \, x^{2} - i\right )} {\rm Li}_2\left (\cos \left (x\right ) + i \, \sin \left (x\right )\right ) + 12 \, {\left ({\left (2 i \, x^{2} - i\right )} \cos \left (x\right )^{2} - 2 i \, x^{2} + i\right )} {\rm Li}_2\left (\cos \left (x\right ) - i \, \sin \left (x\right )\right ) + 12 \, {\left ({\left (2 i \, x^{2} - i\right )} \cos \left (x\right )^{2} - 2 i \, x^{2} + i\right )} {\rm Li}_2\left (-\cos \left (x\right ) + i \, \sin \left (x\right )\right ) + 12 \, {\left ({\left (-2 i \, x^{2} + i\right )} \cos \left (x\right )^{2} + 2 i \, x^{2} - i\right )} {\rm Li}_2\left (-\cos \left (x\right ) - i \, \sin \left (x\right )\right ) - 4 \, {\left (2 \, x^{3} - {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \left (x\right )^{2} - 3 \, x\right )} \log \left (\cos \left (x\right ) + i \, \sin \left (x\right ) + 1\right ) - 4 \, {\left (2 \, x^{3} - {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \left (x\right )^{2} - 3 \, x\right )} \log \left (\cos \left (x\right ) - i \, \sin \left (x\right ) + 1\right ) - 4 \, {\left (2 \, x^{3} - {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \left (x\right )^{2} - 3 \, x\right )} \log \left (-\cos \left (x\right ) + i \, \sin \left (x\right ) + 1\right ) - 4 \, {\left (2 \, x^{3} - {\left (2 \, x^{3} - 3 \, x\right )} \cos \left (x\right )^{2} - 3 \, x\right )} \log \left (-\cos \left (x\right ) - i \, \sin \left (x\right ) + 1\right ) + 48 \, {\left (i \, \cos \left (x\right )^{2} - i\right )} {\rm polylog}\left (4, \cos \left (x\right ) + i \, \sin \left (x\right )\right ) + 48 \, {\left (-i \, \cos \left (x\right )^{2} + i\right )} {\rm polylog}\left (4, \cos \left (x\right ) - i \, \sin \left (x\right )\right ) + 48 \, {\left (-i \, \cos \left (x\right )^{2} + i\right )} {\rm polylog}\left (4, -\cos \left (x\right ) + i \, \sin \left (x\right )\right ) + 48 \, {\left (i \, \cos \left (x\right )^{2} - i\right )} {\rm polylog}\left (4, -\cos \left (x\right ) - i \, \sin \left (x\right )\right ) + 48 \, {\left (x \cos \left (x\right )^{2} - x\right )} {\rm polylog}\left (3, \cos \left (x\right ) + i \, \sin \left (x\right )\right ) + 48 \, {\left (x \cos \left (x\right )^{2} - x\right )} {\rm polylog}\left (3, \cos \left (x\right ) - i \, \sin \left (x\right )\right ) + 48 \, {\left (x \cos \left (x\right )^{2} - x\right )} {\rm polylog}\left (3, -\cos \left (x\right ) + i \, \sin \left (x\right )\right ) + 48 \, {\left (x \cos \left (x\right )^{2} - x\right )} {\rm polylog}\left (3, -\cos \left (x\right ) - i \, \sin \left (x\right )\right ) - 3 \, {\left ({\left (2 \, x^{2} - 1\right )} \cos \left (x\right )^{3} + {\left (2 \, x^{2} + 1\right )} \cos \left (x\right )\right )} \sin \left (x\right ) - 3 \, x}{8 \, {\left (\cos \left (x\right )^{2} - 1\right )}} \]

[In]

integrate(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/8*(2*(2*x^3 - 3*x)*cos(x)^4 - 2*x^3 - 3*(2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 + 12*((-2*I*x^2 + I)*cos(x)^2 + 2*I*x^2 - I)
*dilog(cos(x) + I*sin(x)) + 12*((2*I*x^2 - I)*cos(x)^2 - 2*I*x^2 + I)*dilog(cos(x) - I*sin(x)) + 12*((2*I*x^2
- I)*cos(x)^2 - 2*I*x^2 + I)*dilog(-cos(x) + I*sin(x)) + 12*((-2*I*x^2 + I)*cos(x)^2 + 2*I*x^2 - I)*dilog(-cos
(x) - I*sin(x)) - 4*(2*x^3 - (2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 - 3*x)*log(cos(x) + I*sin(x) + 1) - 4*(2*x^3 - (2*x^3 - 3*
x)*cos(x)^2 - 3*x)*log(cos(x) - I*sin(x) + 1) - 4*(2*x^3 - (2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 - 3*x)*log(-cos(x) + I*sin(x
) + 1) - 4*(2*x^3 - (2*x^3 - 3*x)*cos(x)^2 - 3*x)*log(-cos(x) - I*sin(x) + 1) + 48*(I*cos(x)^2 - I)*polylog(4,
cos(x) + I*sin(x)) + 48*(-I*cos(x)^2 + I)*polylog(4, cos(x) - I*sin(x)) + 48*(-I*cos(x)^2 + I)*polylog(4, -co
s(x) + I*sin(x)) + 48*(I*cos(x)^2 - I)*polylog(4, -cos(x) - I*sin(x)) + 48*(x*cos(x)^2 - x)*polylog(3, cos(x)
+ I*sin(x)) + 48*(x*cos(x)^2 - x)*polylog(3, cos(x) - I*sin(x)) + 48*(x*cos(x)^2 - x)*polylog(3, -cos(x) + I*s
in(x)) + 48*(x*cos(x)^2 - x)*polylog(3, -cos(x) - I*sin(x)) - 3*((2*x^2 - 1)*cos(x)^3 + (2*x^2 + 1)*cos(x))*si
n(x) - 3*x)/(cos(x)^2 - 1)

Sympy [F]

\[ \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx=\int x^{3} \cos ^{2}{\left (x \right )} \cot ^{3}{\left (x \right )}\, dx \]

[In]

integrate(x**3*cos(x)**2*cot(x)**3,x)

[Out]

Integral(x**3*cos(x)**2*cot(x)**3, x)

Maxima [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 3740 vs. \(2 (126) = 252\).

Time = 0.64 (sec) , antiderivative size = 3740, normalized size of antiderivative = 20.78 \[ \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/32*(4*x^3 + (4*x^3 + 6*I*x^2 - 6*x - 3*I)*cos(6*x)^2 + 4*(8*I*x^4 + 4*x^3 - 42*I*x^2 - 6*x - 3*I)*cos(4*x)^
2 + 4*(8*I*x^4 - 14*x^3 - 24*I*x^2 - 3*x)*cos(2*x)^2 - (4*x^3 + 6*I*x^2 - 6*x - 3*I)*sin(6*x)^2 + 4*(-8*I*x^4
- 4*x^3 + 42*I*x^2 + 6*x + 3*I)*sin(4*x)^2 + 4*(-8*I*x^4 + 14*x^3 + 24*I*x^2 + 3*x)*sin(2*x)^2 - 6*I*x^2 + 32*
(2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos(4*x)^2 + 2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos(2*x)^2 + 2*(2*I*x^3 - 3*I*x)*sin(4*x)^2 + 2*(2*I*x
^3 - 3*I*x)*sin(2*x)^2 + (2*I*x^3 + (2*I*x^3 - 3*I*x)*cos(4*x) + 2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos(2*x) - (2*x^3 - 3*x)
*sin(4*x) + 2*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) - 3*I*x)*cos(6*x) + (-4*I*x^3 + 5*(2*I*x^3 - 3*I*x)*cos(2*x) - 5*(2*x^3 -
3*x)*sin(2*x) + 6*I*x)*cos(4*x) + (2*I*x^3 - 3*I*x)*cos(2*x) - (2*x^3 + (2*x^3 - 3*x)*cos(4*x) - 2*(2*x^3 - 3
*x)*cos(2*x) - (-2*I*x^3 + 3*I*x)*sin(4*x) - 2*(2*I*x^3 - 3*I*x)*sin(2*x) - 3*x)*sin(6*x) + (4*x^3 + 4*(2*x^3
- 3*x)*cos(4*x) - 5*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) + 5*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*sin(2*x) - 6*x)*sin(4*x) - (2*x^3 - 4*(2*x^3
- 3*x)*cos(2*x) - 3*x)*sin(2*x))*arctan2(sin(x), cos(x) + 1) + 32*(2*(2*I*x^3 - 3*I*x)*cos(4*x)^2 + 2*(2*I*x^
3 - 3*I*x)*cos(2*x)^2 + 2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*sin(4*x)^2 + 2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*sin(2*x)^2 + (-2*I*x^3 + (-2*I*
x^3 + 3*I*x)*cos(4*x) + 2*(2*I*x^3 - 3*I*x)*cos(2*x) + (2*x^3 - 3*x)*sin(4*x) - 2*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) + 3*I
*x)*cos(6*x) + (4*I*x^3 + 5*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos(2*x) + 5*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) - 6*I*x)*cos(4*x) + (-2*I*x
^3 + 3*I*x)*cos(2*x) + (2*x^3 + (2*x^3 - 3*x)*cos(4*x) - 2*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) + (2*I*x^3 - 3*I*x)*sin(4*x)
+ 2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*sin(2*x) - 3*x)*sin(6*x) - (4*x^3 + 4*(2*x^3 - 3*x)*cos(4*x) - 5*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x
) - 5*(2*I*x^3 - 3*I*x)*sin(2*x) - 6*x)*sin(4*x) + (2*x^3 - 4*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - 3*x)*sin(2*x))*arctan2(
sin(x), -cos(x) + 1) - (16*I*x^4 + 8*x^3 - 12*I*x^2 - 4*(-4*I*x^4 - 4*x^3 + 18*I*x^2 + 6*x + 3*I)*cos(4*x) + (
-32*I*x^4 + 52*x^3 + 90*I*x^2 + 18*x + 3*I)*cos(2*x) - 4*(4*x^4 - 4*I*x^3 - 18*x^2 + 6*I*x - 3)*sin(4*x) + (32
*x^4 + 52*I*x^3 - 90*x^2 + 18*I*x - 3)*sin(2*x) - 12*x + 6*I)*cos(6*x) - (-32*I*x^4 - 20*x^3 + 30*I*x^2 - 2*(-
40*I*x^4 + 52*x^3 + 138*I*x^2 + 18*x + 3*I)*cos(2*x) - 2*(40*x^4 + 52*I*x^3 - 138*x^2 + 18*I*x - 3)*sin(2*x) +
30*x - 15*I)*cos(4*x) + 4*(-4*I*x^4 - 4*x^3 + 6*I*x^2 + 6*x - 3*I)*cos(2*x) + 96*(2*(2*I*x^2 - I)*cos(4*x)^2
+ 2*(2*I*x^2 - I)*cos(2*x)^2 + 2*(-2*I*x^2 + I)*sin(4*x)^2 + 2*(-2*I*x^2 + I)*sin(2*x)^2 + (-2*I*x^2 + (-2*I*x
^2 + I)*cos(4*x) + 2*(2*I*x^2 - I)*cos(2*x) + (2*x^2 - 1)*sin(4*x) - 2*(2*x^2 - 1)*sin(2*x) + I)*cos(6*x) + (4
*I*x^2 + 5*(-2*I*x^2 + I)*cos(2*x) + 5*(2*x^2 - 1)*sin(2*x) - 2*I)*cos(4*x) + (-2*I*x^2 + I)*cos(2*x) + (2*x^2
+ (2*x^2 - 1)*cos(4*x) - 2*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) + (2*I*x^2 - I)*sin(4*x) + 2*(-2*I*x^2 + I)*sin(2*x) - 1)*sin
(6*x) - (4*x^2 + 4*(2*x^2 - 1)*cos(4*x) - 5*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) - 5*(2*I*x^2 - I)*sin(2*x) - 2)*sin(4*x) + (2
*x^2 - 4*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) - 1)*sin(2*x))*dilog(-e^(I*x)) + 96*(2*(2*I*x^2 - I)*cos(4*x)^2 + 2*(2*I*x^2 - I
)*cos(2*x)^2 + 2*(-2*I*x^2 + I)*sin(4*x)^2 + 2*(-2*I*x^2 + I)*sin(2*x)^2 + (-2*I*x^2 + (-2*I*x^2 + I)*cos(4*x)
+ 2*(2*I*x^2 - I)*cos(2*x) + (2*x^2 - 1)*sin(4*x) - 2*(2*x^2 - 1)*sin(2*x) + I)*cos(6*x) + (4*I*x^2 + 5*(-2*I
*x^2 + I)*cos(2*x) + 5*(2*x^2 - 1)*sin(2*x) - 2*I)*cos(4*x) + (-2*I*x^2 + I)*cos(2*x) + (2*x^2 + (2*x^2 - 1)*c
os(4*x) - 2*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) + (2*I*x^2 - I)*sin(4*x) + 2*(-2*I*x^2 + I)*sin(2*x) - 1)*sin(6*x) - (4*x^2 +
4*(2*x^2 - 1)*cos(4*x) - 5*(2*x^2 - 1)*cos(2*x) - 5*(2*I*x^2 - I)*sin(2*x) - 2)*sin(4*x) + (2*x^2 - 4*(2*x^2
- 1)*cos(2*x) - 1)*sin(2*x))*dilog(e^(I*x)) - 16*(2*(2*x^3 - 3*x)*cos(4*x)^2 + 2*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x)^2 - 2*
(2*x^3 - 3*x)*sin(4*x)^2 - 2*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x)^2 - (2*x^3 + (2*x^3 - 3*x)*cos(4*x) - 2*(2*x^3 - 3*x)*cos(
2*x) + (2*I*x^3 - 3*I*x)*sin(4*x) + 2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*sin(2*x) - 3*x)*cos(6*x) + (4*x^3 - 5*(2*x^3 - 3*x)*c
os(2*x) - 5*(2*I*x^3 - 3*I*x)*sin(2*x) - 6*x)*cos(4*x) - (2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - (2*I*x^3 + (2*I*x^3 - 3*I*x)
*cos(4*x) + 2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos(2*x) - (2*x^3 - 3*x)*sin(4*x) + 2*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) - 3*I*x)*sin(6*x
) - (-4*I*x^3 + 4*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos(4*x) + 5*(2*I*x^3 - 3*I*x)*cos(2*x) - 5*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) + 6*I*
x)*sin(4*x) - (2*I*x^3 + 4*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos(2*x) - 3*I*x)*sin(2*x))*log(cos(x)^2 + sin(x)^2 + 2*cos(x) +
1) - 16*(2*(2*x^3 - 3*x)*cos(4*x)^2 + 2*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x)^2 - 2*(2*x^3 - 3*x)*sin(4*x)^2 - 2*(2*x^3 - 3*
x)*sin(2*x)^2 - (2*x^3 + (2*x^3 - 3*x)*cos(4*x) - 2*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) + (2*I*x^3 - 3*I*x)*sin(4*x) + 2*(-
2*I*x^3 + 3*I*x)*sin(2*x) - 3*x)*cos(6*x) + (4*x^3 - 5*(2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - 5*(2*I*x^3 - 3*I*x)*sin(2*x) -
6*x)*cos(4*x) - (2*x^3 - 3*x)*cos(2*x) - (2*I*x^3 + (2*I*x^3 - 3*I*x)*cos(4*x) + 2*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos(2*x
) - (2*x^3 - 3*x)*sin(4*x) + 2*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) - 3*I*x)*sin(6*x) - (-4*I*x^3 + 4*(-2*I*x^3 + 3*I*x)*cos
(4*x) + 5*(2*I*x^3 - 3*I*x)*cos(2*x) - 5*(2*x^3 - 3*x)*sin(2*x) + 6*I*x)*sin(4*x) - (2*I*x^3 + 4*(-2*I*x^3 + 3
*I*x)*cos(2*x) - 3*I*x)*sin(2*x))*log(cos(x)^2 + sin(x)^2 - 2*cos(x) + 1) + 384*((I*cos(4*x) - 2*I*cos(2*x) -
sin(4*x) + 2*sin(2*x) + I)*cos(6*x) + (5*I*cos(2*x) - 5*sin(2*x) - 2*I)*cos(4*x) - 2*I*cos(4*x)^2 - 2*I*cos(2*
x)^2 - (cos(4*x) - 2*cos(2*x) + I*sin(4*x) - 2*I*sin(2*x) + 1)*sin(6*x) + (4*cos(4*x) - 5*cos(2*x) - 5*I*sin(2
*x) + 2)*sin(4*x) + 2*I*sin(4*x)^2 + (4*cos(2*x) - 1)*sin(2*x) + 2*I*sin(2*x)^2 + I*cos(2*x))*polylog(4, -e^(I
*x)) + 384*((I*cos(4*x) - 2*I*cos(2*x) - sin(4*x) + 2*sin(2*x) + I)*cos(6*x) + (5*I*cos(2*x) - 5*sin(2*x) - 2*
I)*cos(4*x) - 2*I*cos(4*x)^2 - 2*I*cos(2*x)^2 - (cos(4*x) - 2*cos(2*x) + I*sin(4*x) - 2*I*sin(2*x) + 1)*sin(6*
x) + (4*cos(4*x) - 5*cos(2*x) - 5*I*sin(2*x) + 2)*sin(4*x) + 2*I*sin(4*x)^2 + (4*cos(2*x) - 1)*sin(2*x) + 2*I*
sin(2*x)^2 + I*cos(2*x))*polylog(4, e^(I*x)) - 384*(2*x*cos(4*x)^2 + 2*x*cos(2*x)^2 - 2*x*sin(4*x)^2 - 2*x*sin
(2*x)^2 - (x*cos(4*x) - 2*x*cos(2*x) + I*x*sin(4*x) - 2*I*x*sin(2*x) + x)*cos(6*x) - (5*x*cos(2*x) + 5*I*x*sin
(2*x) - 2*x)*cos(4*x) - x*cos(2*x) - (I*x*cos(4*x) - 2*I*x*cos(2*x) - x*sin(4*x) + 2*x*sin(2*x) + I*x)*sin(6*x
) - (-4*I*x*cos(4*x) + 5*I*x*cos(2*x) - 5*x*sin(2*x) - 2*I*x)*sin(4*x) - (-4*I*x*cos(2*x) + I*x)*sin(2*x))*pol
ylog(3, -e^(I*x)) - 384*(2*x*cos(4*x)^2 + 2*x*cos(2*x)^2 - 2*x*sin(4*x)^2 - 2*x*sin(2*x)^2 - (x*cos(4*x) - 2*x
*cos(2*x) + I*x*sin(4*x) - 2*I*x*sin(2*x) + x)*cos(6*x) - (5*x*cos(2*x) + 5*I*x*sin(2*x) - 2*x)*cos(4*x) - x*c
os(2*x) - (I*x*cos(4*x) - 2*I*x*cos(2*x) - x*sin(4*x) + 2*x*sin(2*x) + I*x)*sin(6*x) - (-4*I*x*cos(4*x) + 5*I*
x*cos(2*x) - 5*x*sin(2*x) - 2*I*x)*sin(4*x) - (-4*I*x*cos(2*x) + I*x)*sin(2*x))*polylog(3, e^(I*x)) + (16*x^4
- 8*I*x^3 - 12*x^2 + 2*(4*I*x^3 - 6*x^2 - 6*I*x + 3)*cos(6*x) + 4*(4*x^4 - 4*I*x^3 - 18*x^2 + 6*I*x - 3)*cos(4
*x) - (32*x^4 + 52*I*x^3 - 90*x^2 + 18*I*x - 3)*cos(2*x) + 4*(4*I*x^4 + 4*x^3 - 18*I*x^2 - 6*x - 3*I)*sin(4*x)
- (32*I*x^4 - 52*x^3 - 90*I*x^2 - 18*x - 3*I)*sin(2*x) + 12*I*x + 6)*sin(6*x) - (32*x^4 - 20*I*x^3 - 30*x^2 +
8*(8*x^4 - 4*I*x^3 - 42*x^2 + 6*I*x - 3)*cos(4*x) - 2*(40*x^4 + 52*I*x^3 - 138*x^2 + 18*I*x - 3)*cos(2*x) - 2
*(40*I*x^4 - 52*x^3 - 138*I*x^2 - 18*x - 3*I)*sin(2*x) + 30*I*x + 15)*sin(4*x) + 4*(4*x^4 - 4*I*x^3 - 6*x^2 -
2*(8*x^4 + 14*I*x^3 - 24*x^2 + 3*I*x)*cos(2*x) + 6*I*x + 3)*sin(2*x) - 6*x + 3*I)/((cos(4*x) - 2*cos(2*x) + I*
sin(4*x) - 2*I*sin(2*x) + 1)*cos(6*x) + (5*cos(2*x) + 5*I*sin(2*x) - 2)*cos(4*x) - 2*cos(4*x)^2 - 2*cos(2*x)^2
+ (I*cos(4*x) - 2*I*cos(2*x) - sin(4*x) + 2*sin(2*x) + I)*sin(6*x) + (-4*I*cos(4*x) + 5*I*cos(2*x) - 5*sin(2*
x) - 2*I)*sin(4*x) + 2*sin(4*x)^2 + (-4*I*cos(2*x) + I)*sin(2*x) + 2*sin(2*x)^2 + cos(2*x))

Giac [F]

\[ \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx=\int { x^{3} \cos \left (x\right )^{2} \cot \left (x\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int x^3 \cos ^2(x) \cot ^3(x) \, dx=\int x^3\,{\cos \left (x\right )}^2\,{\mathrm {cot}\left (x\right )}^3 \,d x \]

[In]

int(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3,x)

[Out]

int(x^3*cos(x)^2*cot(x)^3, x)